Tavallinen korttipakka sekoitetaan.
Mikä on todennäköisyys että kun se käydään läpi, mitkään kaksi samanarvoista korttia eivät ole vierekkäin?
Entä että ei ole kolmea samanarvoista vierekkäin?
Entä sille, että ei ole kolmea samaa maata olevaa korttia vierekkäin?
Minkä pituiselle pisimmälle maaputkelle todennäköisyys on suurin?
Saa tutkia myös muun kokoisille kuin 4x13 pakoille.
Mikä on todennäköisyys että kun se käydään läpi, mitkään kaksi samanarvoista korttia eivät ole vierekkäin?
Entä että ei ole kolmea samanarvoista vierekkäin?
Entä sille, että ei ole kolmea samaa maata olevaa korttia vierekkäin?
Minkä pituiselle pisimmälle maaputkelle todennäköisyys on suurin?
Saa tutkia myös muun kokoisille kuin 4x13 pakoille.
Vastaukset 21
Vanhimmat
Ei+kahta+samaa+numeroa:+4,55+%
Osaatko johtaa tähän jotenkin järkevästi laskukaavan?
On johdettu lukion matematiikan oppikirjassa. Katso sieltä.
Ei lukion matematiikan oppikirjoissa ole johdettu mitään tälläisiä korttipakkalaskuja. Eikä tulla koskaan johtamaan. Opettele ensin perusteet, niin ymmärrät asiasta jotain,
Ekassa tapauksessa korttipakkaa ei kannata sekoittaa. Turhaa ajankulua. Riitää ottaa satunnainen kortti pakasta. Muistaakseni keskimäärin alle 20 kortin jälkeen tulee jo virhetilanne.
Ei varmasti korttipakkalaskua ole oppikirjassa johdettu, mutta oppikirjan periaatteista voidaan helposti johtaa kyseinen lasku.
Oppikirjassa voisi olla esimerkki siitä, että kolme kiloa omenoita maksaa 6 euroa niin miten lasketaan 1 kg:n hinta. Samaa periaatetta voi käyttää myös banaaneihin tai päärynöihin ilman, että johtamista pitää tehdä niille uudestaan.
Älä selitä asioita, joista sinulla ei ole mitään käsitystä. Et pysty itse edes yrittämään ratkaisua etkä ymmärrä koko ongelmaa. Olet todistanut tämän jo moneen kertaan täysin aukottomasti. Miksi?
Jos kerran "helposti" voidaan johtaa niin miksi et sitten johtanut? Ei kai helppo homma olisi ollit suuri vaiva?
Taidat puhua sillä varmuudella minkä vain täydellinen asiantuntemattomuus voi antaa.
Ensimäinen kortti voi symmetrian vuoksi olla aina vakio. Esim. yksi (tai paremminkin nolla) eli sitä ei tarvitse arpoa koskaan. Nopeuttaa hiukan oikeaan tarkkaan tulokseen päätymistä.
Tärkeintä näissä laskuissa on löytää aina ensin oikea tulos jollakin helpolla tavalla ja aloittaa sitten vasta mietiskely kaavoilla käyttäen pientä pakkaa. Esim. 3x2 tai 5x3. Vaikkei matematiikkaa juuri osaisikaan, niin kyllä se ongelman ydin paljastuu heti. Pitää olla paljon pareria ja pitää osata kirjoittaa virheettömästi ja selkeästi lausekkeita ja keksiä toistuville osille erilaisia symboleja. Hyvää harjoitusta.
Kyse on palstan venäläisestä vakiopellestä. Muistelee omia kokemuksiaan Venäjän peruskoulusta huonolla menestyksellä. Ei ymmärrä suomen kielellä esitettyjä tehtäviä.
Ei se aivan lukion menetelmillä taida mennä. Etsikää Ira Gessel ja "(generalized) rook polynomials". Sieltä löytyy kahdelle vierekkäiselle ratkaisumetodi ja sen voi yleistää myös kolmelle. Kun maitten vierekkäisyyttä, niin siihen tarvitaan 13. "rook polynomia" (eli siis tornipolynomi, liittyy shakkilaudalle toisiaan uhkaamattomien tornien asetteluun, mutta ei suomeksi kai tuo termi yleistynyt). Juuri kolmastoista oli viimeinen jonka sain laskettua, ohjelmallisesti senkin ja siinä piti tehdä jotain manuaalisia korjauksia kun tuli ylilaskentaa tietyn tyyppisissä konfiguraatioissa. Pitäisikin katsoa vielä keksisikö tuohon järkevämpää tapaa generoida tuota rook-polynomia. Voin kaivaa ne laskut tuolta jostain muistista jos jotakuta kiinnostaa.
Tai tässä on artikkeli, jossa kahden tapaus tehty, mutta se viittaa Ira Gesselin töihin
https://math.osu.edu/sites/default/files/perfect shuffle.pdf
Näin sen vähän järkeilinkin, ettei ihan yksikertainen tehtävä. Ainoa millä itse olisin sen saanut ratkaistua olis ollu kirjoittaa rekursio jollekin koodikielelle mutta nyt kun sitäkin yritän kirjoitella niin näyttää menevän kerta toisensa jälkeen pieleen. Ehkä ne puheet oli totta kun sanottiin että liika liiman imppaaminen syövyttää aivot.
Mikset kokeile ensin pienemmällä pakalla?
Simuloimalla saat aina heti varmasti oikean tuloksen. Sitten voi yrittää älykkäämpiä tapoja, joilla saa absoluuttisen tarkan arvon. Ohjelmavirheet löytyvät aina heti.
Sainkin sen jo korjattua. Jotain tuloksia 4x13 pakalla:
Ei peräkkäin kahta samaa maata: 1.1817474309603094e-06
'' kolmea samaa maata: 0.10448919517643433
'' neljää: 0.6517001051801059
'' viittä: 0.9239040027251405
'' kuutta: 0.9866241615138692
Ei peräkkäin kahta samaa numeroa: 0.045476282331094305
'' kolmea: 0.8910900522844434
'' neljää: 0.9976501209203303
'' viittä: 1.0 (kuten voinee järkeillä)
Laskuajat normaalikokoisella pakalla vielä ihan käytännölliset sekunnin parin luokkaa pahimmillaan. Jos laskee ei kahta samaa numeroa kahdeksalla maalla eli kahdella pakalla on laskuaika jo lähemmäs minuutin ja todennäköisyys ettei sillon kahta samaa korttia peräkkäin näyttäs olevan 0.0007119851096447877
Jaksoin nyt viimein palata tähän, kun helteet helpotti :D
Joo, saman saan kolmelle samalle maalle eli
2104089892855403897005043 / 20136913575633931245960000
= 0.10448919517643433
Miten rekursiosi toimii?
Minun metodissa arvojen määrä (eli k x 13 pakalle) kasvattaa aikaa vain lineaarisesti. Voitko varmentaa näitä arvoja, niin saataisin varmuutta, että kolmastoista polynomini on oikein:
k = 1 : 0.0
k = 2 : 0.012782147183816319
k = 3 : 0.05175816745537056
k = 4 : 0.10448919517643433
k = 5 : 0.15973852509025624
k = 6 : 0.2128375068738312
k = 7 : 0.262039718158852
k = 8 : 0.30689826957878363
k = 9 : 0.34752220846167736
k = 10 : 0.38423916308992445
k = 11 : 0.41744289290421105
k = 12 : 0.44752590084967653
k = 13 : 0.4748516052126938
k = 14 : 0.49974492206260884
k = 15 : 0.5224912516427819
k = 16 : 0.5433390821137324
k = 17 : 0.5625039219674703
k = 18 : 0.5801724869227921
k = 19 : 0.5965066626118872
Aika näppärä. Enpä olis ensialkuun uskonut että tuon saisi lineaarisella ajan kasvulla aikaiseksi. Kuten parista kertomastani laskuajasta voi päätellä, oman skripti ei sitä ole. Muutamat ensimmäiset arvot näyttää kuitenkin olevan samat eli ehkä me oikeilla jäljillä ollaan.
Oma rekursio on varmaan aika perus millä nyt tuollaisia ratkotaan. Käytitkö itse jotain matematiikan teorioita apuna vai miten tuon noin hyvin sait ratkaistua.
Joo, käytin niitä yleistettyjä "tornipolynomeja", joiden avulla kahden peräkkäisen tapaus (ns. perfect shuffle) on ratkaistu täällä: https://math.osu.edu/sites/default/files/perfect shuffle.pdf (linkki taitaa katketa välistä). Siinä m. tornipolynomille saadaan yleinen kaava ja näin myös pakan permutaatioiden lukumäärälle.
Kolmen tapauksessa polynomien löytäminen on vähän mutkikkaampaa mutta sain sen laskettua brute-forcahtavalla menetelmällä (ei tietenkään täysin brute-force, jossa käytäisiin läpi kaikki ~ 2^(m^3) kolmikkojen osajoukkoa (m=13)).
Se on kertolaskua! Siis eka kortti on esim 4. Pakassa on 4 kpl nelosia. Eka kortti on 1/52 ja se nelonen on 1/4. Esim. (1x4)x(1/52)=4,8076. Toinen nelonen on (1/3)x(1/51) on 6,535 ja kolmas kortti (1/2)x(1/50)= 0,01
Korjaan virheen omassa ajatuksessani.
Siis ensimmäinen nelonen on (1/4) x (1/52) = 4,80769
Toinen (1/3)x(1/51)= 6,535
Kolmas (1/2)x(1/50)= 0,01
Toinen korjaus kahteen mietelmääni.
Nuo kolme kertolaskua tulisi laittaa jonoon lopullisen vastauksen saamiseksi.
eli
1/(4,70769X6,535X0,01) = 3 182 400 1/3182400
Tässä on vaan alkuideana se, että korttipakassa on 52 korttia. 1. noston jälkeen 51 ja 2. 50.
Tapauksia on 4 joista 1. noston jälkeen on 3 ja toisen jälkeen kaksi. Joka nostossa on kaksi tapahtumaa ja ne kerrotaan keskenään.