Miksi funktio
f(x) = sqrt (x^2 a^2) - a
on niinkuin x^2 kun x lähestyy nollaa, jos a!=0 mutta niinkuin x, jos a=0. (Katsotaan vain raja-arvoa kun x lähestyy positiivisesta suunnasta).
Osaan kyllä todistaa tuon derivaatalla tai vaikka yleistetyllä binomikaavalla mutta mikä on intuitiivinen syy, että noin käy? Asteen mukaanhan f:n pitäisi olla suurinpiirtein lineaarinen ja suurilla x se onkin sitä mutta origossa, jos nyt mietitään tapausta a!=0 otetaan vaikka a=1, niin sqrt (0 1^2) = 1, ok ja derivaatta on x/sqrt(x^2 1), joka pysyy rajoitettuna vaikka jaettaisiin vielä x:llä. Mutta tässä mentiin taas l'Hôpitaliin. Mikä on oikea selkeä neliöjuurellinen syy, että näin käy. Pohditaan nyt vain tätä tapausta f(x) = sqrt(x^2 1). No, sehän on sileä origossa, joten ei se voi lineaarinen olla, muuten tulisi piikki. Johtuuko se kuitenkin pohjimmiltaan siitä, että neliöjuuri on ongelmallinen origossa vaikka funktio x^2 1 pysyykin poissa origosta?
f(x) = sqrt (x^2 a^2) - a
on niinkuin x^2 kun x lähestyy nollaa, jos a!=0 mutta niinkuin x, jos a=0. (Katsotaan vain raja-arvoa kun x lähestyy positiivisesta suunnasta).
Osaan kyllä todistaa tuon derivaatalla tai vaikka yleistetyllä binomikaavalla mutta mikä on intuitiivinen syy, että noin käy? Asteen mukaanhan f:n pitäisi olla suurinpiirtein lineaarinen ja suurilla x se onkin sitä mutta origossa, jos nyt mietitään tapausta a!=0 otetaan vaikka a=1, niin sqrt (0 1^2) = 1, ok ja derivaatta on x/sqrt(x^2 1), joka pysyy rajoitettuna vaikka jaettaisiin vielä x:llä. Mutta tässä mentiin taas l'Hôpitaliin. Mikä on oikea selkeä neliöjuurellinen syy, että näin käy. Pohditaan nyt vain tätä tapausta f(x) = sqrt(x^2 1). No, sehän on sileä origossa, joten ei se voi lineaarinen olla, muuten tulisi piikki. Johtuuko se kuitenkin pohjimmiltaan siitä, että neliöjuuri on ongelmallinen origossa vaikka funktio x^2 1 pysyykin poissa origosta?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Selkeyttäisikö, jos vaihdetaan x -> 1/x ja tutkitaan kun x menee äärettömään.
sqrt (1/x^2 1)-1 = sqrt ((x^2 1)/x^2)-1 -> sqrt(1)-1 = 0,
No nyt taidan käsittää...: Kun a!=0, niin "neliöjuuri pysyy mukana" ja vaikuttaa suppenemiseen, joten se on kvadraattista
(sqrt ((x^2 1)/x^2) - 1) / (1/x^2)
= sqrt (x^2 x^4) - x^2
Hmm.. no tämä taas tuntuu oudolta mutta puolikkaaseen tuo menee!
Tai voisihan tuon tehdä myös laventamalla konjugaatilla tehdäänpä se nyt tähän jälkimmäiseen muotoon (ja siinähän voi vaihtaa x^2:n x:ksi)
(sqrt (x x^2) - x) * (sqrt (x x^2) x)/ (sqrt (x x^2) x)
= (x-x^2) /( sqrt(x x^2) x)
= x / (x(sqrt (1 1/x) 1)
= 1/(sqrt(1 1/x) 1)
-> 1/2
No ei se siitä oikein hullua halleemmaksi tule.