Määritä sellainen funktio y, että kaikilla x pätee
y(x)=3 x^3 ∫5,0 y(t) dt (5 ylhäällä, 0 alhaalla integraalissa)
Vihje: Päättele, että yhtälön perusteella y on muotoa y(x)=3 Ax^3, missä A on vakio. Sijoita tällainen lauseke yhtälöön ja tutki, miten A täytyy valita.
y(x)=
y(x)=3 x^3 ∫5,0 y(t) dt (5 ylhäällä, 0 alhaalla integraalissa)
Vihje: Päättele, että yhtälön perusteella y on muotoa y(x)=3 Ax^3, missä A on vakio. Sijoita tällainen lauseke yhtälöön ja tutki, miten A täytyy valita.
y(x)=
Vastaukset 13
Vanhimmat
A = - 20/207. y(x) = 3 A x^3 = 3 - 20/207 x^3.
Kuinka ratkaisit?
Ihan sen annetun ohjeen mukaan.
3 x^3 * Int(0 <= t <= 5) (3 A t^3) dt = 3 x^3 * Sij(0,5) (3 t A/4 * t^4) =
3 x^3 (15 A * 625/4) = 3 15 x^3 A/4 * 625 * x^3. Tämän lausekkeen tulee olla = 3 A x^3 koska y-funktion on tällainen. Siis
3 A x^3 = 3 15 x^3 A/4 * 625 x^3 joten
A = 15 A/4 * 625 ja siis A ( 1 - 625/4) = 15 eli A = - 60/621 = -20/207 ja siis
y(x) = 3 - 20/207 * x^3
Tarkastus: 3 x^3 Int (0 <= t <= 5) (3 -20/207 * t^3)dt = 3 x^3 * Sij(0,5) ( 3t - 5/207 t^4) = 3 x^3 ( 15 - 3125 /207 ) = 3 x^3(3105 -3125)/207 = 3 - 20/207 * x^3 = y(x).
Ohman
Moi, valitettavasti en ymmärrä tuota ylläolevaa selitystä. Mistä luku 15 ja 625 tulevat?
Minun pitäisi laskea lasku arvoilla: y(x)=1 x^3 ∫3,0 y(t) dt (3 ylhäällä, 0 alhaalla integraalissa). y on muotoa y(x)=1 Ax^3. Mutta ei vaan onnistu :)
∫ y(t) dt = ∫ ( 1 At³ ) dt = t (At^4) / 4 C
Määrätty integraali:
3
∫ ( 1 At³ ) dt = 3 81A / 4
0
Tarkastellaan nyt tuon yhtälön molempia puolia.
vasen puoli: y(x) = 1 Ax³
oikea puoli: 1 ( 3 81A / 4 )x³
Termien x³ kertoimien tulee olla yhtä suuria.
3 81A / 4 = A <=> A = -231 / 4
Vastaus: y(x) = 1 - 231x³/4
Lopussa pitäisi olla A = - 12/77 ja vastaus siten y(x) = 1 - 12x³/77
Sain tulokseksi 1 - 9x³/77, eli jossain meni pieleen :D Kiitos avusta!
Näissä tulee helposti huolimattomuusvirheitä, vaikka ymmärtäisikin idean. Toivottavasti sait nyt tehtyä tehtävän.
Tulevat, kun sijoitetaan yläraja
5 t:n arvoksi tuohon lausekkeeseen 3t A/4 * t^4. Alarajalla t = 0 eikä alarajalta tule mitään.
Ohman
Onko tämä lukiomatikkaa? En ymmärrä tätä!
Määritä sellainen funktio y, että kaikilla x pätee
y(x)=3 x^4∫0,2 y(t) dt (2 ylhäällä, 0 alhaalla integraalissa)
Vihje: Päättele, että yhtälön perusteella y on muotoa y(x)=3 Ax^4, missä A on vakio. Sijoita tällainen lauseke yhtälöön ja tutki, miten A täytyy valita.
y(x)=
Int(0 <= t <=2) y(t) dt = A , tuo määrätty integraalihan on tietty luku, olkoon se A.
Siis y(x) = 3 A x^4 ja täytyy olla
y(x) = 3 x^4* Int(0 <= t <= 2) (3 At^4) dt = 3 x^4(Sij(0,2) 3t A/5 * t^5) =
3 x^4(6 32 A/5) = = 3 A x^4
A = 6 32 A/5
(1 - 32/5)A = 6 joten A = -30/27 = - 10/9
Tark. Int(0 <= t <= 2) (3 - 10/9 t^4) dt = Sij(0,2) (3t -2/9 t^5) = 6-64/9 = - 10/9
y(x) = 3 - 10/9 x^4